Skaičių sistemos
Skaičių sistema yra taisyklių rinkinys, skirtas skaičių vaizdavimui naudojant skirtingus skaitinius ženklus. Skaičių sistemos skirstomos į du tipus: nepozicines ir pozicines.
Padėčių skaičių sistemose kiekvieno skaitmens reikšmė nepriklauso nuo jo užimamos padėties, tai yra nuo vietos, kurią jis užima skaitmenų rinkinyje. Romėniškų skaičių sistemoje yra tik septyni skaitmenys: vienas (I), penki (V), dešimt (X), penkiasdešimt (L), šimtas (C), penki šimtai (D), tūkstantis (M). Naudojant šiuos skaičius (simbolius), likę skaičiai rašomi sudėjus ir atimant. Pavyzdžiui, IV yra skaičiaus 4 žymėjimas (V — I), VI yra skaičius 6 (V + I) ir pan. Skaičius 666 rašomas romėniškoje sistemoje taip: DCLXVI.
Šis žymėjimas yra mažiau patogus nei tas, kurį šiuo metu naudojame. Čia šeši rašomi vienu simboliu (VI), šeši dešimtukai su kitu (LX), šeši šimtai trečias (DC). Labai sunku atlikti aritmetinius veiksmus su skaičiais, užrašytais romėniškų skaičių sistema. Be to, bendras nepozicinių sistemų trūkumas yra pakankamai didelių skaičių atvaizdavimo jose sudėtingumas, todėl žymėjimas yra labai sudėtingas.
Dabar apsvarstykite tą patį skaičių 666 pozicinėje skaičių sistemoje. Jame vienetinis ženklas 6 reiškia vienetų skaičių, jei jis yra paskutinėje vietoje, dešimtukų skaičių, jei jis yra priešpaskutinėje vietoje, o šimtukų skaičių, jei jis yra trečioje vietoje nuo galo. Šis skaičių rašymo principas vadinamas poziciniu (lokaliniu). Tokiame įraše kiekvienas skaitmuo gauna skaitinę reikšmę, kuri priklauso ne tik nuo jo stiliaus, bet ir nuo to, kur jis yra rašant skaičių.
Padėties skaičių sistemoje bet koks skaičius, pavaizduotas kaip A = +a1a2a3 … ann-1an, gali būti pateikiamas kaip suma
kur n – baigtinis skaitmenų skaičius skaičiaus paveikslėlyje, ii skaičius i-go skaitmuo, d – skaičių sistemos pagrindas, i – kategorijos eilės numeris, dm-i – i-ro kategorijos "svoris" . Skaičiai ai turi tenkinti nelygybę 0 <= a <= (d — 1).
Dešimtainiam žymėjimui d = 10 ir ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Kadangi skaičiai, susidedantys iš vienetų ir nulių, gali būti suvokiami kaip dešimtainiai arba dvejetainiai skaičiai, kai jie naudojami kartu, dažniausiai nurodoma skaičių sistemos bazė, pavyzdžiui, (1100)2-dvejetainė, (1100)10-dešimtainė.
Skaitmeniniuose kompiuteriuose plačiai naudojamos kitos nei dešimtainės sistemos: dvejetainė, aštuntainė ir šešioliktainė.
Dvejetainė sistema
Šioje sistemoje d = 2 ir čia leidžiami tik du skaitmenys, ty ai = 0 arba 1.
Bet kuris skaičius, išreikštas dvejetainėje sistemoje, yra vaizduojamas kaip bazės laipsnio sandauga, padauginta iš duoto bito dvejetainio skaitmens. Pavyzdžiui, skaičių 101.01 galima parašyti taip: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, kuris atitinka skaičių dešimtainėje sistemoje: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .
Daugumoje šiuolaikinių skaitmeninių kompiuterių dvejetainė skaičių sistema naudojama skaičiams atvaizduoti mašinoje ir su jais atlikti aritmetines operacijas.
Dvejetainė skaičių sistema, palyginti su dešimtainiu, leidžia supaprastinti aritmetinio įrenginio ir atminties įrenginio grandines ir grandines bei padidinti kompiuterio patikimumą. Kiekvieno dvejetainio skaičiaus bito skaitmuo vaizduojamas tokių elementų, kaip tranzistorių, diodų, „įjungimo / išjungimo“ būsenų „įjungimo / išjungimo“ būsenos. Dvejetainės sistemos trūkumai – būtinybė pagal specialią programą išversti originalius skaitmeninius duomenis į dvejetainę skaičių sistemą, o sprendimo rezultatus – į dešimtainę.
Aštuntainių skaičių sistema
Šios sistemos pagrindas yra d == 8. Skaičiai naudojami skaičiams žymėti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Aštuntainių skaičių sistema kompiuteryje naudojama kaip pagalbinė priemonė ruošiant problemas spręsti (programavimo procese), tikrinant mašinos darbą, derinant programą. Ši sistema pateikia trumpesnį skaičių nei dvejetainė sistema. Aštuntainių skaičių sistema leidžia tiesiog pereiti prie dvejetainės sistemos.
Šešioliktainė skaičių sistema
Šios sistemos pagrindas yra d = 16. Skaičiams žymėti naudojama 16 simbolių: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ir simboliai A … F reiškia dešimtainius skaičius 10, 11, 12, 13, 14 ir 15. Šešioliktainis skaičius (1D4F) 18 atitiks dešimtainį skaičių 7503, nes (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10
Šešioliktainis žymėjimas leidžia dvejetainius skaičius užrašyti kompaktiškiau nei aštuntainius. Jis randa pritaikymą kai kurių kompiuterių įvesties ir išvesties įrenginiuose bei skaičių eilės rodymo įrenginiuose.
Dvejetainė dešimtainė skaičių sistema
Skaičių vaizdavimas dvejetainėje dešimtainėje sistemoje yra toks. Dešimtainis skaičiaus žymėjimas imamas kaip pagrindas, o tada kiekvienas jo skaitmuo (nuo 0 iki 9) rašomas keturženklio dvejetainio skaičiaus, vadinamo tetrada, forma, tai yra, nenaudojamas vienas ženklas. kiekvienas dešimtainės sistemos skaitmuo, bet keturi.
Pavyzdžiui, dešimtainis skaičius 647,59 atitiktų BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
Dvejetainė ir dešimtainė skaičių sistema naudojama kaip tarpinė skaičių sistema ir koduoti įvesties ir išvesties skaičius.
Vienos skaičių sistemos perkėlimo į kitą taisyklės
Keitimasis informacija tarp kompiuterių įrenginių daugiausia vyksta skaičiais, pateiktais dvejetainėje skaičių sistemoje. Tačiau informacija vartotojui pateikiama skaičiais dešimtainėje sistemoje, o komandų adresavimas – aštuntainėje sistemoje. Taigi, dirbant su kompiuteriu, reikia perkelti numerius iš vienos sistemos į kitą. Norėdami tai padaryti, naudokite šią bendrą taisyklę.
Norint paversti sveikąjį skaičių iš bet kurios skaičių sistemos į kitą, reikia paeiliui padalyti šį skaičių iš naujos sistemos pagrindo, kol koeficientas bus ne mažesnis už daliklį. Skaičius naujoje sistemoje turi būti parašytas padalijimo liekanų forma, pradedant nuo paskutinio, tai yra iš dešinės į kairę.
Pavyzdžiui, konvertuokime dešimtainį 1987 į dvejetainį:
Dešimtainis skaičius 1987 dvejetainiu formatu yra 11111000011, t.y. (1987)10 = (11111000011)2
Keičiant iš bet kurios sistemos į dešimtainę, skaičius vaizduojamas kaip bazės laipsnių suma su atitinkamais koeficientais, o tada apskaičiuojama sumos reikšmė.
Pavyzdžiui, aštuntainį skaičių 123 paverskime dešimtainiu: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, t.y. (123)8 = (83)10
Norint perkelti trupmeninę skaičiaus dalį iš bet kurios sistemos į kitą, reikia paeiliui padauginti šią trupmeną ir gautas trupmenines sandaugos dalis, remiantis nauja skaičių sistema. Trupmeninė skaičiaus dalis naujoje sistemoje formuojama kaip sveikos gautų produktų dalys, pradedant nuo pirmosios. Daugybos procesas tęsiamas tol, kol apskaičiuojamas skaičius tam tikru tikslumu.
Pavyzdžiui, paverskime dešimtainę trupmeną 0,65625 į dvejetainę skaičių sistemą:
Kadangi penktojo sandaugos trupmeninė dalis susideda tik iš nulių, tolesnis dauginimas nereikalingas. Tai reiškia, kad duotas dešimtainis skaičius be klaidų paverčiamas dvejetainiu, t.y. (0,65625)10 = (0,10101)2.
Konvertuoti iš aštuntainio ir šešioliktainio į dvejetainį ir atvirkščiai nėra sunku. Taip yra todėl, kad jų bazės (d – 8 ir d – 16) atitinka sveikuosius skaičius iš dviejų (23 = 8 ir 24 = 16).
Norint aštuntainius arba šešioliktainius skaičius konvertuoti į dvejetainius, pakanka kiekvieną jų skaičių pakeisti atitinkamai trijų arba keturių skaitmenų dvejetainiu skaičiumi.
Pavyzdžiui, aštuntąjį skaičių (571)8 ir šešioliktainį skaičių (179)16 išverskime į dvejetainę skaičių sistemą.
Abiem atvejais gauname tą patį rezultatą, t.y. (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Norėdami konvertuoti skaičių iš dvejetainės dešimtainės dalies į dešimtainę, kiekvieną skaičiaus tetradą, pavaizduotą dvejetainiu dešimtainiu, turite pakeisti skaitmeniu, pavaizduotu dešimtainiu skaičiumi.
Pavyzdžiui, skaičių (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 parašykime dešimtainiu būdu, t.y. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218 625)