Biot-Savarto dėsnis ir magnetinės indukcijos vektoriaus cirkuliacijos teorema

1820 m. prancūzų mokslininkai Jeanas-Baptiste'as Biotas ir Félixas Savardas, atlikdami bendrus nuolatinių srovių magnetinių laukų tyrimo eksperimentus, nedviprasmiškai nustatė, kad nuolatinės srovės, tekančios laidininku, magnetinė indukcija gali būti laikoma laidininku. bendras visų šio laido sekcijų veikimas su srove. Tai reiškia, kad magnetinis laukas paklūsta superpozicijos principui (laukų superpozicijos principui).

Nuolatinės srovės laidų grupės sukurtas magnetinis laukas yra toks magnetinė indukcijakad jo reikšmė apibrėžiama kaip kiekvieno laidininko atskirai sukurtų magnetinių indukcijų vektorinė suma. Tai yra, nuolatinės srovės laidininko indukcija B gali būti teisingai pavaizduota elementariųjų indukcijų dB, priklausančių nagrinėjamo nuolatinės srovės I laidininko elementarioms atkarpoms dl, suma.

Išskirti elementarią nuolatinės srovės laidininko sekciją praktiškai nerealu, nes D.C. visada uždarytas.Bet jūs galite išmatuoti bendrą magnetinę indukciją, kurią sukuria viela, tai yra, kurią sukuria visos pagrindinės tam tikro laido dalys.

Taigi Biot-Sovar dėsnis leidžia rasti laidininko pjūvio (žinomas ilgis dl) magnetinės indukcijos B vertę, esant tam tikram nuolatinei srovei I, tam tikru atstumu r nuo šios laidininko atkarpos ir tam tikra stebėjimo kryptis iš pasirinktos atkarpos (nustatyta per kampo tarp srovės krypties ir krypties nuo laidininko atkarpos iki tiriamo taško erdvėje šalia laidininko sinuso):

Eksperimentiškai buvo nustatyta, kad magnetinės indukcijos vektoriaus kryptis nesunkiai nustatoma pagal dešiniojo sraigto arba kardaninio veleno taisyklę: jei kardaninio veleno transliacinio judėjimo kryptis sukimosi metu sutampa su nuolatinės srovės I kryptimi laide, tada gimbalo rankenos sukimosi kryptis nustato tam tikros srovės sukuriamo magnetinės indukcijos vektoriaus B kryptį.

Tiesios srovės laido magnetinis laukas, taip pat Bio-Savarto dėsnio taikymo iliustracija parodyta paveikslėlyje:

Taigi, jei integruosime, tai yra, pridėsime kiekvienos mažos nuolatinės srovės laidininko dalies indėlį į bendrą magnetinį lauką, gausime formulę, kaip rasti srovės laidininko magnetinę indukciją tam tikru spinduliu R nuo jo. .

Lygiai taip pat, naudodamiesi Bio-Savardo dėsniu, galite apskaičiuoti magnetines indukcijas iš skirtingų konfigūracijų nuolatinių srovių ir tam tikruose erdvės taškuose, pavyzdžiui, magnetinę indukciją apskritimo grandinės centre su srove nustato tokia formulė:

Magnetinės indukcijos vektoriaus kryptis nesunkiai randama pagal kardaninio traukimo taisyklę, tik dabar kardanas turi būti sukamas uždaros srovės kryptimi, o kardanybo judėjimas į priekį parodys magnetinės indukcijos vektoriaus kryptį.

Dažnai skaičiavimai, susiję su magnetiniu lauku, gali būti supaprastinti, jei atsižvelgsime į generuojančio lauko srovių konfigūracijos simetriją. Čia galite naudoti magnetinės indukcijos vektoriaus cirkuliacijos teoremą (kaip Gauso teoremą elektrostatikoje). Kas yra „magnetinės indukcijos vektoriaus cirkuliacija“?

Pasirinkime erdvėje tam tikrą savavališkos formos uždarą kilpą ir sąlyginai nurodykime teigiamą jos judėjimo kryptį.Kiekviename šios kilpos taške galima rasti magnetinės indukcijos vektoriaus B projekciją ant kilpos liestinės tame taške. Tada šių dydžių sandaugų suma pagal visų kontūro atkarpų elementariuosius ilgius yra magnetinės indukcijos vektoriaus B cirkuliacija išilgai šio kontūro:

Praktiškai visos srovės, kurios čia sukuria bendrą magnetinį lauką, gali arba prasiskverbti į nagrinėjamą grandinę, arba kai kurios iš jų gali būti už jos ribų. Pagal cirkuliacijos teoremą: nuolatinių srovių magnetinės indukcijos vektoriaus B cirkuliacija uždarame kontūre yra skaitine prasme lygi magnetinės konstantos mu0 sandaugai visų nuolatinių srovių, prasiskverbiančių į kilpą, suma. Šią teoremą suformulavo Andre Marie Ampere 1826 m.

Apsvarstykite aukščiau esantį paveikslą. Čia srovės I1 ir I2 prasiskverbia į grandinę, tačiau jos nukreiptos skirtingomis kryptimis, o tai reiškia, kad jos turi sąlyginai skirtingus ženklus.Teigiamas ženklas turės srovę, kurios magnetinės indukcijos kryptis (pagal pagrindinę taisyklę) sutampa su pasirinktos grandinės apėjimo kryptimi. Šioje situacijoje cirkuliacijos teorema yra tokia:

Apskritai, magnetinės indukcijos vektoriaus B cirkuliacijos teorema išplaukia iš magnetinio lauko superpozicijos principo ir Biot-Savard dėsnio.

Pavyzdžiui, gauname nuolatinės srovės laidininko magnetinės indukcijos formulę. Pasirinkime apskritimo formos kontūrą, per kurio centrą eina ši viela, o viela yra statmena kontūro plokštumai.

Taigi apskritimo centras yra tiesiai laidininko centre, tai yra, laidininke. Kadangi paveikslėlis yra simetriškas, vektorius B nukreiptas liestine į apskritimą, todėl jo projekcija ant liestinės visur yra vienoda ir lygi vektoriaus B ilgiui. Cirkuliacijos teorema parašyta taip:

Todėl toliau pateikiama tiesioginio laidininko magnetinės indukcijos su nuolatine srove formulė (ši formulė jau buvo pateikta aukščiau). Panašiai, naudojant cirkuliacijos teoremą, galima lengvai rasti simetriškų nuolatinės srovės konfigūracijų magnetines indukcijas, kuriose lauko linijų paveikslą lengva vizualizuoti.

Vienas iš praktiškai svarbių cirkuliacijos teoremos taikymo pavyzdžių yra magnetinio lauko nustatymas toroidinio induktoriaus viduje.

Tarkime, kad ant spurgos formos kartoninio rėmo yra apvyniota toroidinė ritė, kurios apsisukimų skaičius yra N. Šioje konfigūracijoje magnetinės indukcijos linijos yra uždengtos spurgos viduje ir yra koncentriniai (viena kitoje) apskritimai. .

Jei pažvelgsite į magnetinės indukcijos vektoriaus kryptį išilgai vidinės spurgos ašies, paaiškėja, kad srovė nukreipta visur pagal laikrodžio rodyklę (pagal gimbalo taisyklę). Apsvarstykite vieną iš magnetinės indukcijos linijų (rodomos raudonai) ritės viduje ir pasirinkite ją kaip apskritą kilpą, kurios spindulys yra r. Tada tam tikros grandinės cirkuliacijos teorema parašyta taip:

Ir magnetinė lauko indukcija ritės viduje bus lygi:

Plonai toroidinei ritei, kurios magnetinis laukas yra beveik vienodas visame skerspjūvyje, magnetinės indukcijos išraišką galima užrašyti taip, lyg begalinio ilgio solenoidui, atsižvelgiant į apsisukimų skaičių ilgio vienete - n :

Dabar apsvarstykite be galo ilgą solenoidą, kuriame magnetinis laukas yra visiškai viduje. Pasirinktam stačiakampiui kontūrui taikome cirkuliacijos teoremą.

Čia magnetinės indukcijos vektorius duos nulinę projekciją tik 2 pusėje (jos ilgis lygus L). Naudodami parametrą n - "apsukimų skaičius ilgio vienetui", gauname tokią cirkuliacijos teoremos formą, kuri galiausiai sumažėja iki tokios pat formos kaip ir multitonCoy toroidinės ritės: