Kodėl kintamosios srovės grandinėse skaičiavimams naudojami kompleksiniai skaičiai

Kaip žinote, kompleksiniai skaičiai naudojami kai kurioms tipinėms elektros inžinerijos problemoms spręsti. Bet kam jie naudojami ir kodėl taip daroma? Tai mes stengsimės suprasti šio straipsnio eigoje. Faktas yra tas, kad sudėtingas metodas arba sudėtingų amplitudių metodas yra patogus sudėtingoms kintamosios srovės grandinėms apskaičiuoti. Ir pirmiausia prisiminkime kai kuriuos matematikos pagrindus:

Kaip matote, kompleksinis skaičius z apima menamąją ir realiąją dalis, kurios skiriasi viena nuo kitos ir tekste žymimos skirtingai. Pats kompleksinis skaičius z gali būti parašytas algebrine, trigonometrine arba eksponentine forma:

Istorinis fonas

Manoma, kad įsivaizduojamų skaičių idėja kilo 1545 m., kai italų matematikas, inžinierius, filosofas, gydytojas ir astrologas Girolamo Cardano paskelbė šį lygčių sprendimo būdą savo traktate „Didysis menas“, kuriame, be kita ko, , jis pripažino, kad Niccolò idėją jam perdavė Tartaglia (italų matematikas) likus 6 metams iki šio darbo paskelbimo. Savo darbe Kradano išsprendžia tokios formos lygtis:

Spręsdamas šias lygtis, mokslininkas buvo priverstas pripažinti, kad egzistuoja kažkoks „nerealus“ skaičius, kurio kvadratas bus lygus minus vienam „-1“, tai yra, lyg būtų kvadratinė šaknis neigiamas skaičius, o jei jis dabar yra kvadratas, pasirodys atitinkamas neigiamas skaičius po šaknimi. Cardano paskelbė daugybos taisyklę, pagal kurią:

Tris šimtmečius matematikų bendruomenė priprato prie naujojo Cardano pasiūlyto požiūrio. Įsivaizduojami skaičiai pamažu įsitvirtina, tačiau matematikai nelinkę priimti. Tik paskelbus Gauso darbus apie algebrą, kur jis įrodė pagrindinę algebros teoremą, kompleksiniai skaičiai pagaliau buvo visiškai priimti, XIX a.

Įsivaizduojami skaičiai tapo tikru išsigelbėjimu matematikams, nes sudėtingiausias problemas tapo daug lengviau išspręsti priimant įsivaizduojamų skaičių egzistavimą.

Taigi netrukus atėjo į elektrotechniką. Kintamosios srovės grandinės kartais buvo labai sudėtingos ir norint jas apskaičiuoti reikėjo apskaičiuoti daug integralų, o tai dažnai buvo labai nepatogu.

Galiausiai, 1893 m., puikus elektros inžinierius Carlas Augustas Steinmetzas kalbėjo Čikagoje Tarptautiniame elektrotechnikos kongrese su pranešimu „Sudėtingi skaičiai ir jų taikymas elektros inžinerijoje“, kuris iš tikrųjų pažymėjo inžinierių praktinio sudėtingo metodo taikymo pradžią. kintamosios srovės elektros grandinių skaičiavimas.

Tai žinome iš fizikos kurso kintamoji srovė — tai srovė, kuri laikui bėgant keičiasi tiek dydžiu, tiek kryptimi.

Technologijoje yra įvairių kintamosios srovės formų, tačiau labiausiai paplitusi šiandien yra kintamoji sinusoidinė srovė, ji naudojama visur, kurios pagalba perduodama elektra, kintamosios srovės pavidalu, kurią generuoja, konvertuoja transformatorių ir yra sunaudojama apkrovų. Sinusinė srovė periodiškai kinta pagal sinusoidinį (harmoninį) dėsnį.

Efektyvios srovės ir įtampos vertės yra mažesnės nei dviejų kartų šaknies amplitudės vertės:

Taikant sudėtingą metodą, efektyvios srovių ir įtampų vertės rašomos taip:

Atkreipkite dėmesį, kad elektrotechnikoje įsivaizduojamas vienetas žymimas raide «j», nes raidė «i» čia jau naudojama srovei žymėti.

Nuo Omo dėsnis nustato kompleksinę varžos reikšmę:

Sudėtingų reikšmių sudėjimas ir atėmimas atliekamas algebrine forma, o daugyba ir padalijimas – eksponentine forma.

Panagrinėkime sudėtingų amplitudžių metodą, naudodami konkrečios grandinės pavyzdį su tam tikromis pagrindinių parametrų reikšmėmis.

Uždavinio sprendimo naudojant kompleksinius skaičius pavyzdys

Duota:

• ritės įtampa 50 V,

• rezistoriaus varža 25 omų,

• ritės induktyvumas 500 mH,

• kondensatoriaus elektrinė talpa yra 30 mikrofaradų,

• ritės varža 10 omų,

• tinklo dažnis 50 Hz.

Raskite: ampermetro ir voltmetro rodmenis, taip pat vatmetrą.

Atsakymas:

Pirmiausia užrašome nuosekliai sujungtų elementų kompleksinę varžą, kurią sudaro realios ir įsivaizduojamos dalys, tada randame aktyviojo-indukcinio elemento kompleksinę varžą.

Prisimenant! Norėdami gauti eksponentinę formą, suraskite modulį z, lygų tikrosios ir menamos dalių kvadratų sumos kvadratinei šaknei, o phi lygų menamos dalies dalinio, padalytos iš tikrosios, arktangentui.

Tada randame srovę ir atitinkamai ampermetro rodmenis:

Taigi ampermetras rodo 0,317 A srovę - tai srovė per visą serijos grandinę.

Dabar rasime kondensatoriaus talpinę varžą, tada nustatysime jo sudėtingą varžą:

Tada apskaičiuojame bendrą šios grandinės kompleksinę varžą:

Dabar randame efektyvią įtampą, taikomą grandinei:

Voltmetras parodys efektyvią 19,5 volto įtampą.

Galiausiai randame galią, kurią parodys vatmetras, atsižvelgdami į fazių skirtumą tarp srovės ir įtampos

Vatmetras parodys 3,51 vato.

Dabar jūs suprantate, kokie svarbūs kompleksiniai skaičiai yra elektrotechnikoje. Jie naudojami patogiam elektros grandinių skaičiavimui. Daugelis elektroninių matavimo prietaisų veikia tuo pačiu pagrindu.