Kontaktinės grandinės algebros, Būlio algebros dėsniai

Relių grandinių sandaros ir veikimo sąlygų analitinis įrašas leidžia atlikti analitinį ekvivalentinį grandinių transformavimą, tai yra transformuojant struktūrines formules, surasti panašias jų veikimo schemas. Konversijos metodai yra ypač išvystyti struktūrinėms formulėms, išreiškiančioms kontaktines grandines.

Kontaktinėms grandinėms naudojamas matematinis logikos algebros aparatas, tiksliau, viena paprasčiausių jos atmainų, vadinama teiginių skaičiavimu arba Būlio algebra (praėjusio amžiaus matematiko J. Būlio vardu).

Teiginių skaičiavimas iš pradžių buvo sukurtas tirti priklausomybę (sudėtingų sprendimų tiesą ar klaidingumą nuo juos sudarančių paprastų teiginių teisingumą ar klaidingumą. Iš esmės teiginių skaičiavimas yra dviejų skaičių algebra, ty algebra kurių kiekvienas atskiras argumentas ir kiekviena funkcija gali turėti vieną iš dviejų reikšmių.

Tai lemia galimybę naudoti Būlio algebrą transformuojant kontaktų grandines, nes kiekvienas iš argumentų (kontaktų), įtrauktų į struktūrinę formulę, gali turėti tik dvi reikšmes, tai yra, jis gali būti uždarytas arba atviras, o visa funkcija vaizduojama struktūrine. formulė gali išreikšti uždarą arba atvirą kilpą.

Būlio algebra pristato:

1) objektai, kurie, kaip ir įprastoje algebroje, turi pavadinimus: nepriklausomus kintamuosius ir funkcijas – tačiau, skirtingai nei įprastoje algebroje, Būlio algebroje abu gali turėti tik dvi reikšmes: 0 ir 1;

2) pagrindinės loginės operacijos:

• loginis sudėjimas (arba disjunkcija, loginis ARBA, žymimas ženklu ?), kuris apibrėžiamas taip: operacijos rezultatas yra 0 tada ir tik tada, kai visi operacijos argumentai lygūs 0, kitu atveju rezultatas yra 1;

• loginis dauginimas (arba sujungimas, loginis AND, žymimas ?, arba visai nenurodytas), kuris apibrėžiamas taip: operacijos rezultatas yra 1 tada ir tik tada, kai visi operacijos argumentai lygūs 1, kitu atveju rezultatas yra 0;

• neigimas (arba atvirkščiai, loginis NE, rodomas juostele virš argumento), kuris apibrėžiamas taip: operacijos rezultatas turi priešingą argumento reikšmę;

3) aksiomos (Bulio algebros dėsniai), apibrėžiančios loginių išraiškų transformavimo taisykles.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekviena iš loginių operacijų gali būti atliekama tiek su kintamaisiais, tiek su funkcijomis, kurios toliau bus vadinamos Būlio funkcijomis... Prisiminkite, kad pagal analogiją su įprasta algebra Būlio algebroje loginio daugybos operacija turi viršenybę prieš loginę papildymo operacija.

Būlio išraiškos sudaromos derinant daugelio objektų (kintamųjų arba funkcijų) logines operacijas, vadinamas operacijos argumentais.

Loginių reiškinių transformacija naudojant Būlio algebros dėsnius dažniausiai atliekama siekiant sumažinti, nes kuo paprastesnė išraiška, tuo mažesnė loginės grandinės, kuri yra techninis loginės išraiškos įgyvendinimas, sudėtingumas.

Būlio algebros dėsniai pateikiami kaip aksiomų ir pasekmių visuma. Juos galima patikrinti gana paprastai, pakeičiant skirtingas kintamųjų reikšmes.

Bet kurios loginės Būlio funkcijos išraiškos techninis analogas yra loginė diagrama... Šiuo atveju kintamieji, nuo kurių priklauso Būlio funkcija, yra prijungti prie šios grandinės išorinių įėjimų, Būlio funkcijos reikšmė formuojama ties išorinis grandinės išėjimas, o kiekviena loginė operacija loginėje išraiškoje yra įgyvendinama loginiu elementu.

Taigi kiekvienam loginės grandinės išvesties įvesties signalų rinkiniui generuojamas signalas, atitinkantis šio kintamųjų rinkinio loginės funkcijos reikšmę (toliau naudosime tokią sutartį: 0 — žemas signalo lygis , 1 — aukštas signalo lygis).

Kurdami logines grandines darysime prielaidą, kad kintamieji į įvestį tiekiami parafazės kodu (tai yra, galimos ir tiesioginės, ir atvirkštinės kintamųjų reikšmės).

1 lentelėje pateikiami įprasti kai kurių loginių elementų grafiniai žymėjimai pagal GOST 2.743-91, taip pat jų užsienio atitikmenys.

Be elementų, kurie atlieka tris Būlio algebros operacijas (IR, OR, NOT), skirtuke. 1 rodomi elementai, kurie atlieka operacijas, gautas iš pagrindinio:

— IR —NE — loginio daugybos neigimas, dar vadinamas Schaeferio judesiu (žymimas |)

– ARBA – NE – loginio papildinio neigimas, dar vadinamas Peirce'o rodykle (žymimas ?)

Serijiniu būdu sujungdami loginius vartus, galite įgyvendinti bet kurią Būlio funkciją.

Struktūrinės formulės, išreiškiančios relių grandines apskritai, t.y. turinčios reaguojančių erelių simbolius, negali būti laikomos dviejų verčių funkcijomis, išreiškiančiomis tik uždarą arba atvirą grandinę. Todėl dirbant su tokiomis funkcijomis atsiranda nemažai naujų priklausomybių, kurios peržengia Būlio algebros ribas.

Būlio algebroje yra keturios pagrindinių dėsnių poros: du poslinkiai, du kombinatoriniai, du skirstomieji ir dvi teisinės inversijos. Šie dėsniai nustato skirtingų išraiškų lygiavertiškumą, tai yra, jie laiko išraiškas, kurios gali būti pakeistos viena kita, kaip tapatybių pakeitimas įprastoje algebroje. Kaip lygiavertiškumo simbolį imame simbolį, kuris yra toks pat kaip lygybės simbolis įprastoje algebroje (=).

Būlio algebros dėsnių galiojimas kontaktinėms grandinėms bus nustatytas nagrinėjant grandines, atitinkančias ekvivalentinių išraiškų kairę ir dešinę puses.

Kelionių įstatymai

Norėdami pridėti: x + y = y + x

Šias išraiškas atitinkančios schemos parodytos fig. 1, a.

Kairė ir dešinė grandinės paprastai yra atviros grandinės, kurių kiekviena užsidaro, kai suveikia vienas iš elementų (X arba Y), tai yra, šios grandinės yra lygiavertės. Daugybai: x ·y = y ·NS.

Šias išraiškas atitinkančios schemos parodytos fig. 1b, jų lygiavertiškumas taip pat akivaizdus.

Ryžiai. 1

Derinimo dėsniai

Pridedant: (x + y) + z = x + (y + z)

Daugybai: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Šias išraiškas atitinkančios lygiaverčių grandinių poros parodytos Fig. 2, a, b

Ryžiai. 2

Platinimo įstatymai

Daugyba ir sudėtis: (x + y) +z = x + (y + z)

Sudėjimas vs daugyba. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

Šias išraiškas atitinkančios schemos parodytos fig. 3, a, b.

Ryžiai. 3.

Šių schemų lygiavertiškumą galima lengvai patikrinti, įvertinus skirtingus kontaktinio paleidimo derinius.

Inversijos dėsniai

Pridedant: NS + c = NS·c

Virš kairiosios išraiškos pusės esanti juosta yra neigimo arba inversijos ženklas. Šis ženklas rodo, kad visa funkcija turi priešingą reikšmę, palyginti su po neigimo ženklu esančia išraiška. Neįmanoma nubraižyti diagramos, atitinkančios visą atvirkštinę funkciją, bet galima nubraižyti diagramą, atitinkančią išraišką po neigiamu ženklu. Taigi formulę galima iliustruoti diagramomis, parodytomis fig. 4, a.

Ryžiai. 4.

Kairioji diagrama atitinka išraišką x + y, o dešinioji – NS ·c

Šios dvi grandinės veikia priešingos viena kitai, būtent: jei kairioji grandinė su nesužadintais elementais X, Y yra atvira grandinė, tai dešinioji grandinė yra uždaryta. Jei kairiojoje grandinėje, suveikiant vienam iš elementų, grandinė užsidaro, o dešinėje, atvirkščiai, atsidaro.

Kadangi pagal neigiamo ženklo apibrėžimą funkcija x + y yra atvirkštinė funkcijai x + y, tai akivaizdu, kad x + y = NS·in.

Dėl daugybos: NS · c = NS + c

Atitinkamos schemos parodytos fig. 4, b.

Translokatyvinis ir kombinacinis bei daugybos dėsniai ir skirstymo dėsniai sudėties atžvilgiu (atitinka panašius įprastos algebros dėsnius).Todėl transformuojant struktūrines formules terminų pridėjimo ir dauginimo tvarka, terminų išdėstymas už skliaustų ribų ir skliaustų išplėtimas, galite vadovautis taisyklėmis, nustatytomis dirbant su įprastomis algebrinėmis išraiškomis. Daugybos ir inversijos dėsniai yra būdingi Būlio algebrai.