Logikos algebros pagrindai ir dėsniai
XIX amžiaus vidurio airių matematikas Džordžas Bulis sukūrė logikos algebrą („Mąstymo dėsnių tyrimas“). Taigi logikos algebra taip pat vadinama Būlio algebra.
Suteikdama raidžių žymėjimus, išreikšdama loginių transformacijų operacijas veiksmo simboliais ir naudodama šiems veiksmams nustatytas taisykles ir aksiomas, logikos algebra leidžia samprotavimo procesą sprendžiant teiginių logika pateiktą uždavinį visapusiškai aprašyti algoritmais. , tai yra turėti matematiškai parašytą programą, sprendžiančią šią problemą.
Teiginių tiesai ar klaidingumui pažymėti (tai yra, teiginių vertinimo vertes įvesti), logikos algebra naudoja dvejetainę sistemą, patogią šiuo atveju. Jei teiginys teisingas, jis įgauna reikšmę 1, jei klaidingas – 0. Skirtingai nuo dvejetainių skaičių, loginiai 1 ir 0 išreiškia ne kiekį, o būseną.
Taigi elektros grandinėse, aprašytose naudojant Būlio algebrą, kur 1 yra įtampos buvimas, o 0 yra jos nebuvimas, įtampos tiekimas iš kelių šaltinių į vieną grandinės mazgą (tai yra kelių loginių jos vienetų atėjimas) yra taip pat rodomas kaip loginis vienetas, nurodantis ne bendrą įtampą mazge, o tik jos buvimą.
Apibūdinant loginių grandinių įvesties ir išvesties signalus, naudojami kintamieji, kurių reikšmės yra tik loginės 0 arba 1. Nustatoma išėjimo signalų priklausomybė nuo įėjimo. loginė operacija (funkcija)… Įvesties kintamuosius pažymėkime X1 ir X2, o loginės operacijos su jais išvestį – y.
Pagalvok trys pagrindinės elementarios loginės operacijos, kurių pagalba galima apibūdinti vis sudėtingesnius.
1. ARBA operacija – loginis papildymas:
Atsižvelgiant į visas galimas kintamųjų reikšmes, operaciją OR galima apibrėžti kaip bent vieno įvesties vieneto pakankamumą, kad būtų sukurtas vienas išvestyje. Operacijos pavadinimas paaiškinamas semantine jungties AR reikšme fraze: „Jei OR yra viena įvestis ARBA antra yra viena, tada išvestis yra viena.
2. Operacija IR — loginis dauginimas:
Atsižvelgiant į visą kintamųjų reikšmių rinkinį, operacija AND apibrėžiama kaip poreikis suderinti visas įvesties vertes, kad išvestyje būtų gautas vienas: „Jei AND yra vienas įvestis, o antrasis yra vienetai, tada išvestis yra viena. «
3. Operacija NOT – loginis neigimas arba inversija. Tai rodo juosta virš kintamojo.
Kai apverčiama, kintamojo reikšmė apverčiama.
Pagrindiniai loginės algebros dėsniai:
1. Nulinės aibės dėsnis: bet kokio kintamųjų skaičiaus sandauga išnyksta, jei kuris nors iš kintamųjų yra lygus nuliui, neatsižvelgiant į kitų kintamųjų reikšmes:
2. Visuotinės aibės dėsnis — bet kurio kintamųjų skaičiaus suma tampa viena, jei bent vieno iš kintamųjų reikšmė yra vienas, neatsižvelgiant į kitus kintamuosius:
3. Pasikartojimo dėsnis — pasikartojančių kintamųjų išraiškoje galima praleisti (kitaip tariant, Būlio algebroje nėra eksponencijos ir daugybos iš skaitinio koeficiento):
4. Dvigubos inversijos dėsnis — du kartus atlikta inversija yra tuščia operacija:
5. Komplementarumo dėsnis — kiekvieno kintamojo sandauga ir jo atvirkštinė vertė lygi nuliui:
6. Kiekvieno kintamojo ir jo abipusio skaičiaus suma yra viena:
7. Apsaugos įstatymai — daugybos ir sudėjimo operacijų atlikimo rezultatas nepriklauso nuo kintamųjų eilės:
8. Kombinuoti įstatymai — atliekant daugybos ir sudėties operacijas, kintamieji gali būti grupuojami bet kokia tvarka:
9. Platinimo įstatymai — bendrą koeficientą leidžiama įrašyti skliausteliuose:
10. Sugerties dėsniai — nurodyti būdus, kaip supaprastinti išraiškas, apimančias kintamąjį visuose veiksniuose ir terminuose:
11. De Morgano dėsniai — sandaugos inversija yra kintamųjų inversijų suma:
sumos inversija yra kintamųjų inversijų sandauga:
