Vektorinio lauko srautas ir cirkuliacija

NPagrįsta Richardo Feynmano paskaitų medžiaga

Apibūdindami elektros dėsnius vektoriniais laukais, susiduriame su dviem matematiškai svarbiomis vektorinio lauko savybėmis: srautu ir cirkuliacija. Būtų malonu suprasti, kas yra šios matematinės sąvokos ir kokia jų praktinė reikšmė.

Į antrąją klausimo dalį lengva atsakyti iš karto, nes srauto ir cirkuliacijos sąvokos yra pagrindinės Maksvelo lygtys, ant kurio iš tikrųjų remiasi visa šiuolaikinė elektrodinamika.

Taigi, pavyzdžiui, elektromagnetinės indukcijos dėsnį galima suformuluoti taip: elektrinio lauko E cirkuliacija išilgai uždaros kilpos C yra lygi magnetinio lauko B srauto per jo ribojamą paviršių S kitimo greičiui. kilpa B.

Toliau gana paprastai, naudodamiesi aiškiais skysčių pavyzdžiais, apibūdinsime, kaip matematiškai nustatomos lauko charakteristikos, iš kurių paimamos ir gaunamos šios lauko charakteristikos.

Vektoriaus lauko srautas

Pirmiausia nubrėžkime tam tikrą uždarą visiškai savavališkos formos paviršių aplink tiriamą sritį. Pavaizdavę šį paviršių, klausiame, ar šiuo uždaru paviršiumi teka tiriamasis objektas, kurį vadiname lauku. Norėdami suprasti, kas tai yra, apsvarstykite paprastą skystą pavyzdį.

Tarkime, kad tiriame tam tikro skysčio greičio lauką. Dėl tokio pavyzdžio prasminga paklausti: ar per laiko vienetą per šį paviršių praeina daugiau skysčių, nei patenka į šio paviršiaus ribojamą tūrį? Kitaip tariant, ar ištekėjimo greitis visada nukreiptas pirmiausia iš vidaus į išorę?

Posakiu "vektoriaus lauko srautas" (o mūsų pavyzdyje tikslesnis bus posakis "skysčio greičio srautas") sutiksime įvardyti bendrą įsivaizduojamo skysčio kiekį, kuris teka per nagrinėjamo tūrio paviršių, kurį riboja duota a. uždaras paviršius (skysčio srauto greičiui, kiek skysčio susidaro iš tūrio per laiko vienetą).

Dėl to srautas per paviršiaus elementą bus lygus paviršiaus elemento ploto sandaugai pagal statmeną greičio komponentą. Tada bendras (bendras) srautas per visą paviršių bus lygus vidutinio normaliojo greičio komponento sandaugai, kurią skaičiuosime iš vidaus, iš viso paviršiaus ploto.

Dabar grįžkime prie elektrinio lauko. Žinoma, elektrinis laukas negali būti laikomas tam tikro skysčio tekėjimo greičiu, tačiau turime teisę pristatyti matematinę srauto sampratą, panašią į tai, ką apibūdinome aukščiau kaip skysčio greičio srautą.

Tik esant elektriniam laukui, jo srautą galima nustatyti pagal vidutinę normaliąją elektrinio lauko stiprio dedamąją E. Be to, elektrinio lauko srautą galima nustatyti nebūtinai per uždarą paviršių, o per bet kokį ribotą paviršių. nulinio ploto S .

Vektorinio lauko cirkuliacija

Visiems gerai žinoma, kad, siekiant didesnio aiškumo, laukus galima pavaizduoti vadinamųjų jėgos linijų pavidalu, kurių kiekviename taške liestinės kryptis sutampa su lauko stiprumo kryptimi.

Grįžkime prie skysčio analogijos ir įsivaizduokime skysčio greičio lauką.Užduokime sau klausimą: ar skystis cirkuliuoja? Tai yra, ar jis pirmiausia juda kažkokio įsivaizduojamo uždaro ciklo kryptimi?

Dėl didesnio aiškumo įsivaizduokite, kad skystis didelėje talpykloje kažkaip juda (A pav.) ir mes staiga užšaldėme beveik visą jo tūrį, bet sugebėjome palikti tūrį neužšalusį vienodai uždaryto vamzdelio pavidalu, kuriame nėra skysčio trintis ant sienų (b pav.).

Už šio vamzdžio skystis pavirto į ledą ir todėl nebegali judėti, tačiau vamzdžio viduje skystis gali tęsti judėjimą, jei yra vyraujantis impulsas, varantis jį, pavyzdžiui, pagal laikrodžio rodyklę (1 pav.). . °C). Tada skysčio greičio vamzdyje ir vamzdžio ilgio sandauga bus vadinama skysčio greičio cirkuliacija.

Panašiai galime apibrėžti vektoriaus lauko cirkuliaciją, nors vėlgi negalima sakyti, kad laukas yra nieko greitis, vis dėlto galime apibrėžti matematinę "cirkuliacijos" išilgai kontūro charakteristiką.

Taigi, vektoriaus lauko cirkuliacija išilgai įsivaizduojamo uždaro ciklo gali būti apibrėžta kaip vidutinio tangentinio vektoriaus komponento kilpos praėjimo kryptimi sandauga - pagal kilpos ilgį.